Юмор

unknown, Вы не могли бы объяснить, что такое Tor? Просто в формулах часто встречается...

Это не по моей части, а вики здесь м.б. недостаточно. Но насколько можно понять отсюда
и отсюда, существует т.н. точная последовательность модулей кольца M₁ −φ→ M₂ −φ→ M_n.
Каждый переход задан некоторым гомоморфизмом ( обычно обозначается "фи" над стрелкой). Если начать с нуля 0 → M₁ −φ→ M₂, то для точной последовательности "фи" будет только мономорфизмом. Если последовтельность модулей кольца сходится в ноль, M₁ −φ→ M₂ → 0, то "фи" — эпиморфизм. Следовательно, 0 → M₁ −φ→ M₂ → 0 — короткая точная последовательность модулей кольца, заданная мономорфизмом и эпиморфизмом.

Если нужно взять тензор D от последовательности, то она перестанет быть короткой, будет что-то вида M₁ ⊗ D −φ→ M₂ ⊗ D −φ→ M₃ ⊗ D → 0,. Тогда в виде дополнительных членов вводят производный функтор — Tor, как меру неточности последовательности отображений Tor(M₁,D) −φ→ Tor(M₂,D) −φ→ Tor(M₃, D) −φ→ M₁ ⊗ D −φ→ M₂ ⊗ D −φ→ M₃ ⊗ D → 0

Для этих торов существуют удобные правила счёта, иногда определяют, что они равны нулю (для абелевых групп) и т.д.

Это компиляция из того, что нагуглилось и из того, что понял в популярном виде. За более точной информацией — по приведённым ссылкам или лучше к математикам, которые этим разделом алгебры занимаются.

И да, юмор тонкий — вдруг это можно как-то использовать в анонимных протоколах, например в том самом?

2 sentaus: /comment48797

Насчёт дата-диодов самому как-то давно приходило в голову, только для односторонней передачи файлов. Помехоустойчивые протоколы с упреждающей коррекцией ошибок существуют, по оптике скорость будет немалой. Но как ухитряются делать прокси для TCP/IP в одну сторону — непонятно.

P.S.
Вес Интернет составляет 50 грамм.

Но как ухитряются делать прокси для TCP/IP в одну сторону — непонятно.

Это меня и порадовало. Вот:

Для того, чтобы заработали двунаправленные протоколы все производители устанавливают до и после диода данных специальные прокси сервера. Это могут быть обычные компьютеры, которые эмулируют необходимый протокол: TCP/IP, FTP, SMTP, SMB, HTTP и т.д.

Типа проблемы протоколов диод не волнуют. Вся статья о в принципе простом устройстве, а обсуждение самой сложной задачи аккуратно пропущено :)

перспективы могут открыться для развития котографии, котологии, котоанализа... ©

Собственно распродажа котов в массы уже началась^*:

причём без тензорного произведения картошки на марковку — никак:


Доказательство того, что некоторая операция эквивалентна идентичной, можно будет писать вот так:

Заметьте, это именно доказательство эквивалентности, а не примитивная схема генерации самогонки:


А вот это, кажется, доказательство эрмитовости для операторов наблюдаемых:


Телепорт работает схему квантовой телепортации можно записать вот так:



Помните про квантовые повторители? Для этого надо запутанность через человека по середине пробросить — называется entanglement swapping, оно уже реализовано экспериментально, записывается вот так:


А какие-то другие вещи проще всего решать через пауков:



В перспективе ожидается, что квантовую механику/теорию информации будут делать дети в детских садах, и делать её быстрее, чем сейчас делают взрослые:


Примерно так выглядят другие, тоже забавные вещи:








А если серьёзно, то это — применение теории категорий (к квантовой теории информации), которая

занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры немыслимо без применения теории категорий. Общекатегорные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell

Так что пост unknown'а про Tor очень органично смотрится :) Когда происходит переход от "низкоуровневых" вычислений к пространствам большой размерности, удобней работать не в дираковоском языке, а в чём-то более абстрактном. Например, квантовые вычисления уже давно записывают через квантовые схемы, а не через произведения операторов. Народ утверждает, что всё, что можно доказать, используя стандартные подходы к квантам, можно доказать и через категории:


Ъ по ссылкам не ходят, но для полноты картины:


Суть, я так понял, в том, что соотношения между разными объектами можно выразить как соотношения между какими-то геометрическими фигурами, тогда с разными вычислениями/доказательствами будет удобней работать. Типа как раньше всё писали через волновые функции, а теперь пишут через высокоуровневые абстракции векторов состояний, сводя ответ к волновым функциям только в конечном ответе, где нужно получить конкретное число. Ну или как использование теории групп вместо показывания нужных свойств как свойств произведения матриц (хотя эквивалентность очевидна, высокоуровневый язык удобней там, где низкоуровневость не нужна — программистам это интуитивно понятно).

---

^*Bob Coecke (Oxford), "Selling quantum computing to the masses: a tale of food, spiders and Google", выступление на семинаре в группе Массара [того самого, (оригинал)]. Так же обсуждалось применение языка категорий к лингвистике. Сбоку фотографировать неудобно, так что прошу извинить за косость.

Здорово, в начале (до пауков) больше похоже не на самогонные аппараты, а на схемы сантехнической разводки.

Ну и как всегда подтверждение — достаточно придумать в математике самые надуманные направления (хотя сейчас это уже мэйнстрим) и спустя какое-то время окажется, что для чего-нибудь это будет просто необходимо.

В конце вики-статьи ссылка на статью Нужна ли физикам теория категорий?.

Кстати, фундаментальная криптография, не особо вылезает за рамки абстрактной алгебры. Если криптографы также активно начнут применять теорию категорий, вот интересно что будет — новые алгоритмы или взломы старых?

достаточно придумать в математике самые надуманные направления (хотя сейчас это уже мэйнстрим) и спустя какое-то время окажется, что для чего-нибудь это будет просто необходимо

На самом деле тут двоякий эффект. Я уже упоминал в /comment45775 ссылку на эти дискуссии (там можно ещё на expand'ы потыкать, если кому интересен этот диалог). Если подвести итог, то получается какая-то такая картина (компиляция кучи разных мнений):

• Когда эти новые области современной математики (типа алгебраической геометрии) возникли, на них возлагались большие надежды. В каждой области есть свои тяжёлые нерешённые задачи, и предполагалось что та новая математика поможет их решить. Однако, в целом, как утверждается, этого не произошло, потому у многих до сих пор есть скептицизм по поводу реальной нужности этих областей. Более того, многих раздирает зло по поводу того, что реальные задачи как были, так и остаются нерешёнными, а молодёжь идёт в эти новомодные области (и правильно делает: получить что-то новое в классических областях очень трудно — там уже все рылись-перереылись, остались только трудные задачи, а диссер-то на чём делать?). Т.е. ресурсы по разделам математики (да и физики тоже) тратятся непропорционально реальной отдаче от исследуемых областей. Какие-нибудь струнные теории или БАК — это интересно и модно, этим занимается типа элита, а отдача даже на горизонте не маячит. Понты — они ведь не только в iphone'ах, мерседесах или модных бутиках. В науке тоже есть свои понты. Вот струны — это понтово, а какое-нибудь материаловедение или физика лазеров — отстой. Квантовая теория информации — это тоже понты, но до струн им как до Луны. Ещё математики не любят физиков за их поверхностность в решении задач, бесцеремонное отношение к "математическим ценностям" и их языку, сугубо потребительское отношение к математике, физики там — как слоны в посудной лавке. Ведь "классическая" ценность физики — практическая применимость к описанию мира, а на всё остальное пофиг. Можно, впрочем, сделать оговорку о том, что иначе и нельзя: например, если базовые квантовомеханические вычисления формализовывать так, как это принято в математике, то для решения простейшей студенческой задачи за третий курс понадобится сначала закончить матфак, потом аспирантуру, потом ещё доизучить кучу других матобластей, но вот ответ задачи при этом не изменится. И именно поэтому в теоретической и математической физике принято не формализовывать всё до мозга костей, а "использовать мнемоники, дающие правильный ответ". Некоторые из этих "мнемоник" не обоснованы математиками до сих пор :)
• Если проанализировать современные метаматические достижения и премии, то математики их обвиняют в "спортивности". Вот тупо спорт: взять трудную математическую проблему и как-то решить, потратив на эту уйму усилий. Формально — всё хорошо, задача решена, премия присуждена (Перельмана, я так понял, это тоже касается). С точки же зрения чистых математических ценностей, это не великое достижение: в математике счиатется, что правильным методом (и концептуально) решённая задача должна поставить новые задачи, открыть новые области, развить новые концепции (например, как Гротендик [почитайте эту ссылку, человек действительно был уникален — и как математик, и по своим политическим взглядам, и как критик, довольно трудная жизнь, тоже отказался от премии в знак протеста; многими считается самым величайшим математиком XX-го столетия]), и саму математику как язык. Вместо этого трудные задачи решаются методами обычной математики, применяя очень длинную и нетривиальную последовательность простейших тривиальных шагов из элементарной математики. В частности, за такое решение критиковали задачу о четырёх красках. Т.е. высказывается критика того, что человек относится к решению трудной задачи, как к формальному спорту. Математика и её аппарат могут на тот момент ещё не созреть для решения данной задачи, её решение ничего не поменяет в математике глобально, не откроет новых перспектив. И вот только когда с высоты дозревшей математики такая задача будет перерешена правильным методом, может быть, что-то и изменится. Соответственно, человек, тратящий себя на вот такой формальный спорт, вызывает порицание. С другой стороны, исторически обычно получается так, что первое решение задачи — некрасивое, грязное, неконцептуальное, и лишь позже его удаётся "причесать", выразив через нужные абстракции. Мне это несколько близко, т.к. я сам через эти стадии проходил: от сложных и непонятных длинных формул-крокодилов "которые формально верны" на первом шаге к красивым, концептуальным, коротким и приятным формулам для того же, но спустя год/годы.
• Когда в физике появляется новый инструмент, первый вопрос — "позволит ли он решить что-то новое, с чем у всех пока траблы"? В норме, на первых стадиях, ничего нового решить не удаётся, а удаётся лишь переформулировывать уже известное, причёсывать в более красивую математическую форму. Далее прорыв может как произойти, так и непроизойти. Яркий пример — дираковские бракеты в квантовой механике. Они были введены ещё когда... уже давно стали настольным инструментом в квантовой теории информации и теоретической квантовой механике, квантовой теории поля... но до сих "старое поколение" на них косится с подозрением. Профессура, не работающая в области из списка вышеперечисленных (какая-нибудь физика лазеров, спектроскопия и т.д.), не только не умеет работать с бракетами (хотя всё тривиально — просто линейная алгебра), но ещё и считает, что это никому не нужное и бесполезное трюкачество. Ландау был одним из таких, кстати, несмотря на весь PR вокруг него и его "школы". Сейчас время показало, что концептуальный подход Ландау мёртв, и любой специалист по квантовой механике на предложение почитать "третий том" покрутит у виска, а вот дираковский подход оказался вполне успешным, был обобщён на случай квантовой теории поля и т.д.
• С точки зрения рабочего пролеториата всё обстоит так: с одной стороны, понятно, что освоение той или иной новой области не даст никакого магического способа решить текущие задачи, т.к. 99% их — действительно, просто очень сложная и нетривиальная последовательность очень простых элементарных шагов, невыходящих за рамки матанализа и линейной алгебры первых двух курсов. Однако, в дальней перспективе новая математика развивает видение и математическую культуру, которая потом может где-то внезапно сказаться: удастся быстрее решить что-то, поставить новую интересную задачу или указать не важную параллель между уже известными вещами. Одним словом, это всё — долгосрочные инвестиции в своё будущее, так же как и общее образование, а потому большого энтузиазма не вызывают.

Это всё к тому, что ответ на вопрос

Если криптографы также активно начнут применять теорию категорий, вот интересно что будет — новые алгоритмы или взломы старых?

скорее "ничего не произойдёт", по крайней мере в близлежащей перспективе. Если говорить совсем по-детски, то есть сложность концептуальная (решить какую-нить проблему абстрактной алгебры или хотя бы понять её) и есть сложность техническая (сделать ракету, которая полетит как надо). Как правило, один тип сложности не может быть преобразован в другой, хотя исключения бывают. На практике в исследованиях важно умение работать с обеими типами сложности. К примеру, какой-то "абстрактный" математик может очень хорошо знать абстрактную алгебру, но если вы его попросите вычислить что-то конкретное и простое, но сложное технически, он не справится. В лучшем случае он вам принесёт ответ на трёх тетрадных страницах, который можно будет выбросить разве что в мусорку. Видели когда-нибудь, как математики на лекциях элементарные интегралы считают? По ним же сразу видно, что умение вычислять конкретные вещи — то, чем они никогда не занимаются. Соответственно, верно и обратное: прикладник-практик, способный преодолевать технические сложности в вычислениях (а этому учатся на опыте, и учатся долго), может медитировать месяцами над какими-то абстрактными книгами по математике, но так и не понять их суть. Кстати, хороший вопрос в тему: сколько нужно времени, чтобы аналитически решить квадратное уравнение? Школьник бы сказал, что за 5 минут он его гарантированно решит — он же это много раз делал, типа. Студент, решавший более сложные задачи, вспомнит, что там могут быть плохие коэффициенты, потому может понадобится некоторое время. А я вот вам скажу, что я решаю квадратное уравнение за один день. Примерно столько нужно времени для приведения подобных, проверке того, что оптимальней выразить (x или x^-1), проверке на сворачиваемость корня через тригонометрию (в том числе гиперболическую) и медитацию над тем, что через что переобозначить, чтобы было красиво, просто, компактно и физически осмысленно. Зато если решение получено в означенном смысле — сразу глаз радуется, можно тут же в статью вставлять. В общем, криптография здесь, как и физика, имхо, скорее относится к классу технической сложности (на мой взгляд), а не концептуальной.

Очень интересный пост, spinore, спасибо. И очень аккуратно и внятно всё расписано, как заметка на публикацию. Или как мнение, которое очень долго вынашивалось.

Могу только добавить, что в криптографии при создании алгоритмов стараются использовать как можно более старые разделы математики. Где всё давно исследовано вдоль и поперёк и мало шансов, что вылезет что-то неожиданное.

соотношения между разными объектами можно выразить как соотношения между какими-то геометрическими фигурами, тогда с разными вычислениями/доказательствами будет удобней работать

Тут надо бы упомянуть диаграммы Фейнмана

И поправьте ссылку на Теория категорий, (в FireFox при копировании сюда ссылки из русской википедии название статьи в адресе надо перенабирать вручную, а то openSpace неправильно отображает кодировку в ссылке)

Поскольку юмор, то кроме квантовых котят есть Теорема о душе.

Местами определения звучат душевно:

любые две души (M, g) изометричны.

Любое компактное многообразие имеет душу.

Очень интересный пост, spinore, спасибо. И очень аккуратно и внятно всё расписано, как заметка на публикацию. Или как мнение, которое очень долго вынашивалось.

От себя тоже скажу, что прочитал с удовольствием и интересом.

Поскольку юмор, то кроме квантовых котят есть Теорема о душе.

Сначала прочитал с ударением на первый слог. Подумал, что неспроста Вы вспомнили о сантехнической разводке. :)

Гротендик ... человек действительно был уникален — и как математик, и по своим политическим взглядам, и как критик, довольно трудная жизнь, тоже отказался от премии в знак протеста; многими считается самым величайшим математиком XX-го столетия

Кому понравился текст spinore, обязательно почитайте Гротендиковские Урожаи и посевы

И казалось бы, при чём тут тифарет :)

Интересная публикация недавно появилась от уважаемых авторов ,
Daniel J. Bernstein, Ian Goldberg, Nadia Heninger, Kevin S. McCurley Moti Yung: Leakage. По материалам дискуссии CRYPTO'11 Rump Session.

Обзора и новостей на главной не будет, поэтому рекомендуется ознакомиться с работой самостоятельно, она небольшая.

Очень жаль. Огромное упущение для сайта.